Γεννήθηκε στη Μόσχα στις 12 Απριλίου του 1949, σε οικογένεια μηχανικών, άσχετη με το θέατρο και το τσίρκο. Όμως από την παιδική του ηλικία αποφάσισε να γίνει παλιάτσος, όχι όμως, όπως όλους τους άλλους παλιάτσους! Δυο φορές ο Κουκλατσόφ απέτυχε στις εισαγωγικές εξετάσεις στη Σχολή Τσίρκου, όμως μετά έγινε δεκτός. Μάθαινε να πηδά κάνοντας τούμπες, περπατούσε σαν σκοινοβάτης πάνω σε καλώδιο, επινοούσε εύθυμες σκηνικές παραστάσεις… Όμως όλα αυτά δεν ήταν ό,τι ήθελε. Και τελικά βοήθησε μιά περίπτωση.

Ένα βράδυ περπατούσε από τη σχολή για το σπίτι και είδε ένα γατάκι μέσα στη βροχή. Το λυπήθηκε και το πήρε μαζί του. Μετά από πρόβες στο σπίτι βγήκε το γελοίο νούμερο «Ο γάτος και ο μάγειρας». Μ΄αυτό το νούμερο ο Κουκλατσόφ γύρισε το μισό κόσμο στη σύνθεση του Τσίρκου της Μόσχας.

Η επιτυχία ήταν τεράστια, όμως οι αντίζηλοί του στο τσίρκο ψηθίριζαν: «Σύντομα η καριέρα αυτού του επιδειξία θα σπάσει! Εφόσον όλοι ξέρουν ότι είναι αδύνατο να δαμαστούν οι γάτοι και ο Κουκλατσόφ δεν έχει άλλα ενδιαφέροντα!» Και πραγματικά άλλα ενδιαφέροντα δεν είχε. Γι΄αυτό ο νεαρός καλλιτέχνης έπαιρνε στη δουλειά ολοένα και νέα γατιά, ανέβαζε μαζί τους άλλα νούμερα, έδινε παραστάσεις σε όλο τον κόσμο, κέρδιζε βραβεία στους διαγωνισμούς τσίρκου στο Μόντε-Κάρλο, στο Παρίσι, την Πράγα, το Τόκιο…

Μιά φορά στις παραστάσεις του στο εξωτερικό παρολίγον να καταστραφούν όλα τα σχέδια του. Ο Βρετανικός Σύλλογος Προστασίας ζώων του πρόβαλε τις απαιτήσεις του. Τότε ο Κουκλατσόφ προσκάλεσε στις πρόβες του τα στελέχη αυτού του Συλλόγου, τους έδειξε όλα τα κόλπα και τεχνάσματα και ήταν τόσο πειστικός, που εκείνοι όχι μόνο απόσυραν τη διαμαρτυρία τους, αλλά και τον επέλεξαν ακόμη και επίτιμο μέλος του Συλλόγου τους.

Και το 1990 στη Μόσχα με τη βοήθεια του Δημαρχείου, ιδρύθηκε το «Θέατρο γάτων», το οποίο στεγάστηκε στο κτίριο του πρώην κινηματοθεάτρου στο κέντρο της πόλης. Στο ρεπερτόριο του θεάτρου δεν περιλαμβάνονται απλώς συλλογή αστείων νουμέρων, αλλά πραγματικές παραστάσεις, ανεβασμένες από το γνωστό μαέστρο Γιουνγκβαλντ-Χιλκέβιτς. Πολλά εισιτήρια διανέμονται δωρεάν σε παιδιά των ορφανοτροφείων. Τους γάτους ο Κουκλατσόφ δεν τους δαμάζει, αλλά μελετά τις συνήθειες τους. Και ηθοποιός δεν γίνεται κάθε γάτος που περνά από τα χέρια του. Όμως αυτοί είναι λίγοι. Μιά φορά στην Αγγλία, όπου εξ αιτίας της μεθοριακής καραντίνας ο καλλιτέχνης δεν μπόρεσε να φέρει όλους τους γάτους της ομάδας του, μέσα σε τρεις μήνες οργάνωσε σπάνιο νούμερο τσίρκου από ντόπιους γάτους, που του δώρισαν οι Άγγλοι.

Το 2006 η διεθνής οργάνωση του ΟΗΕ απένειμε στο Θέατρο Γάτων Μόσχας το βραβείο «Χρυσό φαινόμενο» και η Ένωση θεάτρων Μπροντβεϊ ανάδειξε τη παράσταση του Θεάτρου «Οι γάτοι και ο ζωγράφος» ως την Καλύτερη Παράσταση του Έτους.

Στο Θέατρο γάτων εργάζονται περίπου 120 «καλλιτέχνες». Από έξω δεν παίρνουν νέα γατάκια, γιατί φοβούνται τη μόλυνση. Τα νύχια των ζώων δεν τα κόβουν ούτε τα ευνουχίζουν, παρόλο που το μεγαλύτερο μέρος του χρόνου κρατούν τα αρσενικά χωριστά από τα θηλυκά. Όμως δεν αντιστέκονται στη φύση και κάθε χρόνο γεννιούνται μερικές εκατοντάδες γατάκια, τα οποία δωρίζουν στα παιδιά, με τη συγκατάθεση των γονιών τους, κατα τη διάρκεια των παραστάσεων.

Όσους προσπαθούν να μιμηθούν την τέχνη του δεν τους αγαπά, θεωρώντας τους απατεώνες. Ως καλλιτέχνες αναγνωρίζει μόνο το μεγαλύτερο του γιο και τη γυναίκα του, που εργάζονται μαζί του. Με την οικογένεια του ο Γιούρι Κουκλατσόφ είναι ευτυχισμένος εδώ και 40 χρόνια.